کوچکترین چندجمله ای که ریشه آن مجموع ریشه های دوم چند عدد است.
زبان مقاله: انگلیسی
توضیح: در این نکته، با استفاده از توابع متقارن، فرمول جالبی برای ساختن کوچکترین چند جمله
ای ارائه می کند که یک ریشه آن مجموع ریشه های دوم چند عدد است. البته درباره ریشه های دیگر آن نیز صحبت می کند.
توضیح: قضیه مشهور کوهن بیان می کند که یک حلقه ی تعویض پذیر، نوتری است اگر و فقط اگر هر ایده آل اول آن به طور متناهی تولید شود. در این نکته، قضیه کلی تر زیر بیان و ثابت می شود:
Theorem: Let R be a commutative ring and M a finitely generated R-module. Then
M is Noetherian if and only if the submodule pM is finitely generated for every prime
ideal p of R.
خاصیت "رول" در میدانهای متناهی
C. Ballantine and J. Roberts
مترجم: علی معدن شکاف مجله فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی 30، بهار 1382، ص 35
زبان مقاله: فارسی
توضیح: قضیه رول بیان می کند که ریشه ی های مشتق یک تابع حقیقی، بین ریشه های آن تابع
قرار دارند و لذا اگر یک چند جمله ای با ضرایب حقیقی در R تجزیه شود، مشتق آن نیز
در R تجزیه خواهد شد. این خاصیت را "خاصیت رول" گوییم. این مقاله خاصیت رول را
در میدانهای متناهی بررسی می کند.
ضمناً در لینک زیر متن مقاله به زبان اصلی همراه با ترجمه ی آن در یک فایل فشرده قرار گرفته است.
حلقه هایی بدون ایده آل های ماکسیمال
Peter Malcolmson and Frank Okoh
مترجم: فرج الله اکرم مجله فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی 25، پاییز 1379، ص 61
زبان مقاله: فارسی
توضیح: می دانیم که هر حلقه یکدار دارای ایده آلی ماکسیمال است. شرط یکدار بودن نیز الزامی است، یعنی ممکن است حلقه ای بدون یک، دارای ایده آل ماکسیمال نباشد. در این نکته
جالب، مثالهایی از این حلقه ها را خواهید دید.
ضمناً در لینک زیر متن مقاله به زبان اصلی همراه با ترجمه ی آن در یک فایل فشرده قرار گرفته است.
رده بندی گروه ها از مرتبه ی 6 به شیوه ای آلگوریتمی زبان مقاله: انگلیسی
توضیح: معمولا در کلاسهای خوب جبر ۱، اساتید این مطلب را که «دقیقاْ دو گروه غیر یکریخت از
مرتبه ۶ موجود است» بیان و ثابت می کنند. این قضییه اثباتهای متعددی دارد اما یکی از
بهترین روشهایی که این حقیر مشاهده کرده ام، روشی است که در این نکته در اختیارتان
قرار می گیرد. این روش را «روش آلگوریتمی» می نامیم و بسیار شبیه روشی است که
در درس برنامه نویسی رایانه فرا می گیریم.
گروه متناوب ، دارای مرتبه ای برابر با ۱۲ است اما زیرگروهی از مرتبه ۶ ندارد. زبان مقاله: انگلیسی
توضیح: قضیه ی لاگرانژ بیان می کند که مرتبه ی هر زیرگروه، مرتبه ی گروه را عاد می کند. عکس این قضیه
درست نیست و کوچکترین مثال نقض آن، گروه از مرتبه ی ۱۲ است که هیچ زیرگروهی از
مرتبه ۶ ندارد. اثبات این مطلب روشهای گوناگونی دارد که یکی از این روشها، «روش
آلگوریتمی» است که در نکته ی 5 درباره آن توضیح داده ایم. این روش را در این نکته
ملاحظه خواهید کرد.
ارتباطی بین نظریه ی گروهها و نظریه ی حلقه ها محمد رضا رجب زاده ی مقدم
مجله فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی13، بهار 1373، ص 1
زبان مقاله: فارسی
توضیح: در این مقاله سعی شده است ارتباطی بین نظریه ی گروهها و حلقه ها چنان برقرار شود
که اطلاعات موجود در یک مفهوم، قابل دستیابی در مفهوم دیگر باشد. با این روش، ارتباط
بین گروههای پوچتوان و حلقه های لی بررسی شده است.
